Tugas Matematika Diskrit Pert 1,2,3

 TUGAS MATA KULIAH MATEMATIKA DISKRIT

NAMA :

1.  GENIJYANTI WARUWU : 12190279
2. JETA ARIS SURETNO      : 12190241

KELAS : 12.2A.05

LATIHAN SOAL PERTEMUAN 1

1.     Tuliskan dalam bentuk deskripsi himpunan berikut ini :

A = {Adobe photoshop , Macromedia fireworks , PrintShopPro , GIMP ,.... }

B = {PHP , ASP , Cold Fusion , ... }

C = {Windows , Linux , Unix , MacOS, OS/2 ,... }

D = {Disket , CD-R , Hardisk ,... }

JAWAB;

A) adalah himpunan dari nama-nama program manipulasi foto dan      multimedia

B) adalah himpunan dari nama-nama bahasa dan framework pengembang perangkat lunak

C) adalah himpunan dari nama-nama sistem operasi

D) adalah himpunan dari nama-nama media penyimpan data

2.     Misalkan semesta pembicaraan adalah sistem produksi Microsoft dan Himpunan-humpunan lainnya dinyatakan oleh :

A = {win3.1 , win3.11 , win95 , win97}

B = {win97 , win98 , win 98SE , winME}

C = {winME , win2000 , winXP,....}

Carilah :

a.     (A  B)-B

b.     (A  B)   C’

c.      (A  B)-C

d.     (B-C)  A

e.     (A   B)   (A   C)’

f.       (A-B)   C’

g.     2A

h.     2B

i.        Nab

j.       Nab

            JAWAB ;

A.) (A  B)-B = (A-B)  (B-B) = A-B = {win3.1 , win3.11 , win95}

B.) (A  B)   C’ = (A   C’)   (B   C’)

                 = (A   C’)  (C’   B)

                 = A   (C’   C’)   B

                 = A  B = {win3.1 , win3.11 , win95 , win97 , win98 ,    win98SE ,   winME}

C.) (A  B)-C = ((A-B)   (B-A))-C

                       = ((A  B’)   (B   A’))   C’

            = {win3.11 , win95 , win98 , win98SE}

D.) (B-C)  A = {win3.1 , win3.11 , win95 , win98SE , winSE}

E.) (A   B)   (A   C)’ = (A   B)   (A’   C’)

                             = {win97 , win98 , win98SE , winME}

F.) (A-B)   C’ = {win3.1 , win3.11 , win95}

G.) 2^A = {Ø, {win3.1} , {win3.11}  , {win95} , {win97} , {win3.1,win3.11} ,         {win3.1,win95} , {win3.1,win97} , {win3.11,win97} , {win95,win97} , {win3.1,win3.11,win95} , {win3.1,win3.11,win97} , {win3.11,win95,win97} ,{win3.11,win95,win97} , {win3.1,win3.11,win95,win97}

H.) 2^B = {win97} , {win98} , {win98SE} , {winME} , {win97,win98} , {win97,win98} , {win97,win98SE} , {win98,win98SE} , {win98,winME} , {win98,winME} , {win98,winME} , {win97,winME} , {win97,win98,win98SE} , {win97,win98,winME} , {win98,win98SE,winME} , {win97,win98SE,winME}

i.) N_AB = 1

j.) N_AB = {win3.1,win3.11,win95,win97,win98,win98SE,winME}=7

3.     Dari 35 orang programmer yang mengikuti wawancara untuk sebuah pekerjaan diketahui

-         25 mengusai pascal

-         28 menguasai C++

-         2 tidak menguasai keduanya

Berapa orang yang menguasai keduanya ?

JAWAB ;

Programmer = U = 35

C++ = N(C) = 28

Pascal = N(P) = 25

Tidak keduannya = N(_AB)’ = 2

= N(A  B) = N(P)+N(C) – U

                   = (25+28)-35

                    = 53 – 35 = 18 orang

Jadi 18 orang yang menguasai keduanya . pascal dan C++

SOAL MULTIPLE CHOICE

1.1.     Kumpulan benda atau objek nyata maupun abstrak yang mempunyai sifat-sifat tertentu yang sama disebut....

a.     Himpunan

b.     Komutatif

c.      Gabungan

d.     Kuasa

e.     Assosiatif

2.2.     Notasi untuk menyatakan A anggota himpunan adalah...

a.     ∉

b.     ∊

c.      C

d.     

e.     

3.3.    A={ Matematika diskrit, Automata, Rangkaian digital}

B={ Automata, TRL}

Maka operasi A  B adalah....

a.     {Matematika diskrit}

b.     {Automata}

c.      {Rangkaian Digital}

d.     {TRL}

e.     {}

4.4.    Dibawah ini yang termasuk hukum komunikatif adalah

a.     A  B = A

b.     (A  B)   C = A  (B   C)

c.      A  U = U

d.     A  U = A

e.     A  B = B  A

5.5.    Jika A={ Mouse , CPU } maka kuasa himpunannya ada.....

a.     1

b.     2

c.      3

d.     4

e.     0

SOAL LATIHAN PERTEMUAN 2

Selidiki jenis fungsi atau bukan, fungsi satu-ke-satu atau bukan, fungsi pada atau bukan.

1.    A={1,2,3,4} dan B={u,v,w} diberikan f={(1,u),(2,v),(3,w)}

2.    A={1,2,3} dan B={u,v,w} diberikan f={(1,u),(1,v),(2,v),(3,w)}

3.    A={1,2,3} dan B={u,v,w,x} diberikan f ={(1,w),(2,u),(3,v)}

4.    A={1,2,3} dan B={u,v,w} diberikan f={(1,u),(2,u),(3,v)}

5.    A={1,2,3} dan B={u,v,w} diberikan f={(1,u),(2,w),(3,v)}

1. A = {1, 2, 3, 4} dan B = {u, v, w}

Daerah hasil = {(1, u), (2, v), (3, w)}

Berdasarkan daerah hasil maka nomor 1 ini bukan fungsi karena ada anggota A yang tidak mempunyai pasangan yaitu 4.

2. A = {1, 2, 3} dan B = {u, v, w}

Daerah hasil = {(1, u), (1, v),(2, v),(3, w)}

Berdasarkan daerah hasil maka nomor 2 ini bukan fungsi karena ada anggota A yang mempunyai dua pasangan, yaitu (1, u) dan (1, v).

3. A = {1, 2, 3} dan B = {u, v, w, x}

Daerah hasil = {(1, w), (2, u), (3, v)}

Berdasarkan daerah hasil maka nomor 3 ini adalah fungsi karena semua anggota mempunyai pasangan dan masing-masing satu.

4. A = {1, 2, 3} dan B = {u, v, w}

Daerah hasil ={(1, u), (2, u), (3, v)}

Berdasarkan daerah hasil maka nomor 4 ini adalah fungsi karena semua anggota himpunan mempunyai pasangan dan masing-masing satu.

5. A = {1, 2, 3} dan B = {u, v, w}

daerah hasil ={(1, u), (2, w), (3, v)}

Berdasarkan daerah hasil maka nomor 5 ini adalah fungsi karena semua anggota A mempunyai pasangan dan masing-masing satu. Dan termasuk ke dalam fungsi yang berkorespondensi satu-satu karena banyak anggota kedua himpunan sama.

LATIHAN SOAL.

1.1.   Nyatakan relasi yang diberikan oleh tabel berikut sebagai himpunan dari n-tupel

ID	Nama	Manajer
1089	Budi	Zamora
5624	Candra	Ivan
9843	Herman	Rudi
7610	Rian	Irwan

2.2.    Nyatakan relasi yang diberikan oleh tabel berikut sebagai himpunan dari n-tupel

Dept.	Manajer
23	Zamora
10	Rudi
12	Irwan

3.3.    Nyatakan relasi yang diberikan oleh tabel berikut sebagai himpunan dari n-tupel

Dept.	No. Barang	Banyaknya
23	23a	200
10	33c	45
23	500	56
25	11	150

4.4.    Nyatakan relasi yang diberikan oleh tabel berikut sebagai himpunan dari n-tupel

Nama	No. Barang
United Supplies	33c
ABC Limited	23a
ABC Limited	11
JCN Electronics	500

Untuk soal 5-8 tulislah serangkaian operasi relasi untuk menjawab permintaan.

Juga berikanlah jawaban untuk permintaan tersebut.

5. Carilah nama-nama semua pekerjaan (jangan sertakan nama manager)

6. Carilah semua nomor produk

7. Carilah semua produk yang dipasok oleh departemen 23

8. Carilah nomor produk dari produk-produk yang menangani paling sedikit 50 jenis barang

JAWAB.

ID	Nama	Dept	No.Barang	Banyaknya
1089	Budi	23	23a	200
5624	Chandra	10	33c	45
9843	Herman	23	500	56
7610	Rian	25	11	150

5. {(Budi),(Chandra),(Herman),(Rian)}

6. {(23a),(33c),(500),(11)}

7. {(32a,200,23) ,(500,56,23)

8. {(23a,200) ,(500,56) ,(11,150)}

SOAL MULTIPLE CHOICE

1.1.    Hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain disebut......

a.     Fungsi

b.     Himpunan

c.      Relasi

d.     Proyeksi

e.     Join

2.2.    Yang merupakan bentuk pemaparan relasi adalah....

a.     Koordinat

b.     Matrik

c.      Pemetaan

d.     Graf berarah

e.     Semua benar

3.3.    Misal A={1,2,3} dan R={(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,3) , (3,3)} memenuhi sifat relasi....

a.     Refleksif

b.     Symetric

c.      Transitif

d.     Selection

e.     Proyeksi

4.4.    Notasi operator memilih kolom dalam suatu tabel adalah…..

a.     τ

b.     π

c.      σ

d.     μ

e.     ρ

5.5.    Suatu relasi dimana tidak ada dua elemen himpunan asal yang memiliki bayangan yang sama disebut.....

a.     Relasi

b.     Fungsi

c.      Onto

d.     One to one

e.     Himpunan

SOAL LATIHAN PERTEMUAN 3

1.1.     Tentukan validitas (kebenaran) pernyataan di bawah ini bila domain pembicaraannya himpunan bilangan real

a)    ⩝x ,⩝y, P(x² 

⩝x ,∃y, P(x²  )

∃x ,⩝y, P(x²  )

x ,∃y, P(x²  )

b)   ⩝x ,⩝y, P[(x  y²)]

⩝x ,∃y, P[(x  y²)]

∃x , ⩝y, P[(x  y²)]

∃x ,∃y, P[(x  y²)]

JAWAB ;

Tentukan validitas (kebenaran) pernyataan dibawah ini bila domain pembicaraannya himpunan bilangan real

a)     Semua bilangan real dalam himpunan x dan himpunan y yang merupakan bilangan real.

Bilangan x real dapat dibagi habis dengan bilangan y real.
Semua bilangan real dari himpunan x dan beberapa dari himpunan y.

Bilangan-bilangan x dapat dibagi habis oleh beberapa bilangan y.
Beberapa bilangan real dari himpunan x dan semua dari himpunan y.
Bilangan x tidak dapat dibagi habis oleh semua bilangan y dinyatakan salah.
Beberapa bilangan x dan juga beberapa bilangan y.

Harusnya kalau dihitung bilangan tersebut dengan operator < bahwa tidak benar.

b)    Semua bilangan real dalam himpunan x dan himpunan y merupakan bilangan real.

Jika himpunan x kurang dari himpunan y maka himpunan x² kurang dari himpunan y².
Semua bilangan  x adalah bilangan real dan beberapa himpunan y adalah bilangan real.

Jika anggota himpunan x kurang dari anggota himpunan y maka anggota himpunan x² kurang dari anggota himpunan y².

Beberapa anggota himpunan x adalah bilangan real dan semua anggota himpunan y adalah bilangan real.

Jika anggota himpunan x kurang dari anggota himpunan y maka anggota himpunan x² kurang dari anggota himpunan y².

Beberapa anggota himpunan x adalah bilangan real dan beberapa anggota himpunan y adalah bilangan real.

Jika anggota himpunan x kurang dari anggota himpunan y maka anggota himpunan x² kurang dari anggota himpunan y².

2.2.     Negasikan setiap pernyataan di bawah ini:

a) ⩝x ,P(x) 

            b) ∃x ,P(x) 

            c) ⩝x , ,[P(x) 

 JAWAB;

Negasikan setiap pernyataan dibawah ini:
    a) ∀x, P(x) ∧ ∃y, Q(y)
            Jawab: ∃x, ~P(x) ∨ ∀x, ∼Q(y)
    b) ∃x, P(x) ∨ ∀y, Q(y)
            Jawab: ∀x, ~P(x) ∨ ∃y, ~Q(y)
    c) ∀x, ∃y, [P(x) ∨ Q(y)]
            Jawab: ∃x, ∀y, [~P(x) ∧ ~Q(y)

SOAL MULTIPLE CHOICE

1.1     Dalam untuk menyatakan kuantitas suatu objek proposisi digunakan notasi yang disebut…..

a.     Elemen

b.     Kuantor

c.      Refleksif

d.     Relasi

e.     Fungsi

2.2     Untuk menunjukkan kuantitas obyek beberapa disimbolkan / dinotasikan dengan…..

a.     ∃

b.     ⩝

c.      ῼ

d.     ∑

e.     

3.3     Negasi / ingkaran dari ∃X adalah…..

a.     ∃x

b.     ⩝x

c.      ῼx

d.     ∑x

e.     

4.4    Pernyataan p(1) benar dalam Induksi Matematika disebut dengan…..

a.     Langkah induksi

b.     Hipotesis

c.      Basis induksi

d.     Hipotesis induksi

e.     Induksi matematika

5.5     Teknik pembuktian yang baku dalam matematik, khususnya menyangkut bilangan bulat positif disebut dengan…..

a.     Langkah induksi

b.     Hipotesis

c.      Basis induksi

d.     Hipotesis induksi

e.     Induksi matematika

Buktikan Latihan

dengan induksi matematik

1. Jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2

2. Untuk semua n ≥ 1 maka adalah n3 +2n adalah kelipatan 3

3. 1·2 + 2·3 + 3·4 +…+ n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3

Jawab;

1.Basis induksi

Untuk =1, diperoleh  1= n2 , ini adalah benar sebab

1 = n2

    = 12

      pernyataan benarà= 1

Langkah induksi. BiIa untuk n ≥ 1 pernyataan

1+3+5+...+(2n-1)= n2    adalah benar (hipotesis induksi)

1+2+3+...+(2n-1) +(2n+1) -1 = (n+1)2 akan dibuktikan

Bukti :

1+3+5+…+ (2n-1) + (2n+1) -1) = n2 + (2n+1) – 1

                                             = n2 + (2n+2) – 1

                                            = n2 + 2n+1

                                             = (n+1)2

Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah dibuktikan benar, maka untuk semua bilangan ganjil positif pertama adalah n2

 terbukti bahwa:

1+3+5+…+ (2n-1) = n2

Ingat bhw rumus :

(a+b)2 = a2 +2.a.b+b2

            a2 +2ab+b2

(a+2)2 = a2 +2.2.a+ 22

                   a2 +2a+ 4

(a+1)2 = a2 +2.1.a+ 12

                   a2 +2a+ 1

2. Bukti :

Basis induksi :

untuk untuk n=1 kita peroleh 3 = n3+2(n) = 13+2(1) = 3 , ini jelas benar sebab

 pernyataan benarà3 = n3+2(n) = 13+2(1) = 1+ 2=3 -

Langkah induksi.  Jika untuk n ≥1 pernyataan         

(n+1)3 + 2(n+1) = {[(n+1)2] [n+1]} + 2(n+1) adalah benar (hipotesis induksi)

Kita harus menunjukkan bahwa :

 n+1)3 + 2(n+1)  = (n3 + 2n) + 3(n2 + n + 1) benar

 Langkah pembuktian 2

Untuk membuktikan ini tunjukan bahwa :

(n+1)3 + 2(n+1)  = (n3 + 2n) + 3(n2 + n + 1)

{[(n+1)2] [n+1]} + 2(n+1 = {[n2 + 2n + 1] [n +1]} + (2n + 2)

                                       = (n3 + 2n2 + n + n2 +2n +1) + (2n+ 2)

                                       = (n3 + 3n2 + 3n +1) + (2n + 2)

                                       = (n3 + 2n ) + 3n2 + 3n + 3)

                                       = (n3 + 2n) + 3(n2 + n + 1)

Karena (= (n3 + 2n) adalah kelipatan 3 (hipotesa induksi) dan 3(n2 + n + 1) adalah juga merupakan kelipatan 3, maka  = (n3 + 2n) + 3(n2 + n + 1) adalah kelipatan 3

Terbukti

n3 + 2n adalah kelipatan 3 untuk n ≥1

3.

    Untuk n = 1

    1.2 + 2.3 + .... + n(n + 1) = (n(n + 1)(n + 2 ))/3

    1(1 + 1) = (1(1 + 1)(1 + 2))/3

    1(2) = (1(2)(3))/3

    2 = 2

    terbukti benar,

    untuk n = k

    1.2 + 2.3 + .... + k(k + 1) = (k(k + 1)(k + 2))/3

    Uji untuk n = k + 1

    1.2 + 2.3 + .... + n(n + 1) = (n(n + 1)(n + 2))/3

    1.2 + 2.3 + .... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = ((k + 1)(k + 1 + 1)(k + 1 + 2))/3

    1.2 + 2.3 + .... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = ((k + 1)(k + 2)(k + 3))/3

    (k(k + 1)(k + 2))/3 + (k + 1)(k + 2) = ((k + 1)(k + 2)(k + 3))/3

    k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)

    (k + 3)(k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)

    terbukti benar.